เครื่องมือคำนวณลำดับเรขาคณิต

ลำดับเรขาคณิตพบได้ทุกที่ — ตั้งแต่การเติบโตของบัญชีเงินฝากไปจนถึงการแพร่กระจายของแบคทีเรีย และแม้แต่ปริศนาอย่างหอคอยฮานอย การเข้าใจวิธีการทำงานของลำดับเหล่านี้จะช่วยให้คุณแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ การเงิน และวิทยาศาสตร์ได้ง่ายขึ้น มาดูกันว่าลำดับเรขาคณิตคืออะไร โครงสร้างเป็นอย่างไร และทำไมถึงนิยมใช้กันแพร่หลาย

ลำดับเรขาคณิตคืออะไร?

ลำดับเรขาคณิตคือชุดของตัวเลขที่แต่ละพจน์หาค่าได้โดยการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยจำนวนคงที่ เรียกว่า อัตราส่วนร่วม (common ratio) อัตราส่วนนั้นอาจมากกว่า 1 (แสดงการเติบโต) ระหว่าง 0 ถึง 1 (แสดงการลดลง) หรืออาจติดลบ ทำให้สัญลักษณ์ผลลัพธ์สลับไปมา

ตัวอย่างเช่น:

• 2, 6, 18, 54, … มีอัตราส่วนร่วม 3 (ทุกพจน์เป็น 3× พจน์ก่อนหน้า)

• 100, 50, 25, 12.5, … มีอัตราส่วนร่วม 0.5 (ทุกพจน์หารด้วย 2)

ลำดับเรขาคณิตต่างจากลำดับเลขคณิต — ที่เพิ่มหรือลดค่าคงที่ — เพราะใช้การคูณแทนการบวก จึงเหมาะสำหรับจำลองสถานการณ์ที่เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงเป็นร้อยละ การเติบโตเชิงเอ็กซ์โปเนนเชียล หรือการสลายตัว เช่น อัตราดอกเบี้ย การลงทุน หรือกระบวนการทางธรรมชาติ หากคุณต้องการเปรียบเทียบกับลำดับที่เป็นการบวก ลองดูเครื่องมือคำนวณลำดับเลขคณิตของเรา

สูตรลำดับเรขาคณิต

ในการใช้งานลำดับเรขาคณิตมีสูตรหลักสองสูตร:

1. สูตรหาพจน์ที่ n

ใช้หาพจน์ใดๆ ในลำดับโดยไม่ต้องเขียนพจน์ทั้งหมด:

aₙ = a₁ × r⁽ⁿ⁻¹⁾

เมื่อ:

• aₙ พจน์ที่ต้องการหาค่า
• a₁ พจน์แรก
• r อัตราส่วนร่วม
• n ตำแหน่งของพจน์

2. ผลบวกของลำดับเรขาคณิตจำกัด

ถ้าต้องการบวกพจน์แรก n พจน์ ใช้:

Sₙ = a₁ × (1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (r ≠ 1)

สูตรนี้นำไปใช้ได้ตั้งแต่การคำนวณดอกเบี้ยสะสมทั้งหมดจนถึงการพยากรณ์จำนวนประชากรในหลายรุ่น

ข้อเท็จจริงน่ารู้: อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์เคยกล่าวว่าดอกเบี้ยทบต้น (ซึ่งเป็นลำดับเรขาคณิต) คือ ‘สิ่งมหัศจรรย์อันดับแปดของโลก’ เพราะมูลค่าเติบโตอย่างรวดเร็วเมื่อคูณซ้ำๆ

ทั้งสองสูตรนี้คือพื้นฐานในการแก้โจทย์ลำดับเรขาคณิต ตั้งแต่โจทย์คณิตง่ายๆ ไปจนถึงแบบจำลองการเงินซับซ้อน สำหรับการแก้ปัญหาอื่นๆ นอกเหนือจากลำดับ ลองดู เครื่องมือคำนวณคณิตศาสตร์ ของเรา ซึ่งครอบคลุมสมการ อัตราส่วน และฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์อื่นๆ

วิธีแก้โจทย์ลำดับเรขาคณิต

การแก้โจทย์ลำดับเรขาคณิตมักประกอบด้วยสามขั้นตอนหลัก คือ หาค่าอัตราส่วนร่วม คำนวณพจน์ที่ต้องการ และบางครั้งรวมผลบวกของลำดับ

1. หาค่าอัตราส่วนร่วม (r)

อัตราส่วนร่วมคือจำนวนที่คูณเพื่อเปลี่ยนพจน์หนึ่งไปยังพจน์ถัดไป หาได้โดย:

r = aₙ ÷ a₍ₙ₋₁₎

นำพจน์สองพจน์ที่ต่อเนื่องกันมาแบ่งพจน์หลังด้วยพจน์ก่อนหน้า

ตัวอย่าง: ลำดับ 3, 6, 12, 24, …:

r = 6 ÷ 3 = 2

2. คำนวณพจน์ใดๆ

เมื่อทราบ r และพจน์แรก a₁ ก็ใช้สูตร:

aₙ = a₁ × r⁽ⁿ⁻¹⁾

ตัวอย่าง: พจน์ที่ 10 ของ 5, 15, 45, … (โดยมี r = 3):

a₁₀ = 5 × 3⁹ = 5 × 19,683 = 98,415

3. รวมผลลัพธ์ของลำดับจำกัดและอนันต์

บางครั้งต้องการผลบวกหลายพจน์ (เช่น คำนวณการเติบโตทั้งหมดในช่วงเวลาหนึ่ง) ใช้:

Sₙ = a₁ × (1 − rⁿ) ÷ (1 − r), r ≠ 1

ถ้าทำงานกับลำดับอนันต์และ |r| < 1 (พจน์มีแนวโน้มลดลงจนเข้าใกล้ศูนย์) ลำดับจะลู่เข้า และผลบวกเท่ากับ:

S∞ = a₁ ÷ (1 − r)

ตัวอย่าง (ลำดับอนันต์): สำหรับ 10, 5, 2.5, … (เมื่อ r = 0.5):

S∞ = 10 ÷ (1 − 0.5) = 20

รู้หรือไม่?
ปัญหาลูกบอลเด้ง — แต่ละครั้งเด้งสูงกว่าครึ่งหนึ่งของครั้งก่อน — เป็นตัวอย่างจริงของลำดับอนันต์ ถึงลูกบอลจะเด้งไม่รู้จบ แต่ระยะทางรวมที่มันเดินทางมีค่าจริงจำกัด เพราะลำดับลู่เข้า

ลำดับเรขาคณิตเทียบกับลำดับอื่นๆ

แม้ลำดับเรขาคณิตจะสร้างจากการคูณ แต่รูปแบบตัวเลขอื่นๆ ก็ไม่ใช่แบบนี้เสมอไป ลำดับทั่วไปอีกสองประเภทที่พบบ่อยคือ ลำดับเลขคณิต และลำดับฟีโบนักชี การรู้ความต่างจะช่วยให้เลือกวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสม

เรขาคณิต vs. เลขคณิต

• ลำดับเรขาคณิตคูณทุกพจน์ด้วยอัตราส่วนคงที่
  ตัวอย่าง: 3, 6, 12, 24, … (r = 2)

• ลำดับเลขคณิตบวกหรือลบค่าคงที่ทุกครั้ง
  ตัวอย่าง: 3, 6, 9, 12, … (ความต่าง d = 3)

ถ้าคุณทำงานกับรูปแบบที่เป็นการบวกแทน ลองใช้ เครื่องมือคำนวณลำดับเลขคณิต

เรขาคณิต vs. ฟีโบนักชี

• ลำดับฟีโบนักชีไม่ได้มีอัตราส่วนหรือความต่างคงที่ — แต่ละพจน์คือผลรวมของสองพจน์ก่อนหน้า: 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

• ตัวเลขฟีโบนักชีพบในธรรมชาติ (เกลียวในเปลือกหอย ดอกทานตะวัน) และใช้ในแบบจำลองการเติบโต แต่ไม่ได้เติบโตด้วยอัตราส่วนคงที่แบบลำดับเรขาคณิต

หากคุณสนใจสำรวจรูปแบบแบบฟีโบนักชี ลองดู เครื่องมือคำนวณลำดับฟีโบนักชี สำหรับรูปแบบอื่นๆ เครื่องมือคำนวณลำดับตัวเลขของเราพร้อมช่วยคุณสำรวจลำดับหลายประเภท